By Karl-Heinz Becker, Michael Dörfler

Oft wird heute im Zusammenhang mit der "Theorie komplexer dynamischer Systeme" von einer wissenschaftlichen Revolution gesprochen, die in alle Wis­ senschaften ausstrahlt. Computergrafische Methoden und Experimente bestim­ males heute die Arbeitsweise eines neuen Teilgebietes der Mathematik: der "experimentellen Mathematik". Ihr Inhalt ist neben anderem die Theorie kom­ plexer, dynamischer Systeme. Erstmalig wird hier experimentell mit machine­ systemen und Computergrafik gearbeitet. Gegenstand der Experimente sind "mathematische Rückkopplungen", die mit Hilfe von Computern berechnet und deren Ergebnisse durch computergrafische Methoden dargestellt werden. Die rätselhaften Strukturen dieser Computergrafiken bergen Geheimnisse, die heute noch weitgehend unbekannt sind und eine Umkehrung des Denkens in vielen Bereichen der Wissenschaft bewirken werden. Handelt es sich hierbei tatsächlich um eine Revolution, dann muß dasselbe wie für andere Revolutionen gelten: • die äußere Sitution muß dementsprechend vorbereitet sein und • es muß jemand da sein, der neue Erkenntnisse auch umsetzt. Wir denken, daß die äußere günstige Forschungssituation durch die massenhafte und preisgünstige Verbreitung von Computern geschaffen wurde. Mehr und mehr haben sie sich als unverzichtbare Arbeitswerkzeuge durchgesetzt. Es ist aber immer die wissenschaftliche Leistung einzelner gewesen, das used to be möglich ist, auch zu tun. Hier sei zunächst der identify Benoit B. Mandelbrots erwähnt. Diesem wissenschaftlichen Aussenseiter ist es in langjähriger Arbeit gelungen, den grundlegenden mathematischen Begriff des "Fraktals" zu entwickeln und mit Leben zu füllen. Andere Arbeitgruppen waren es, die die speziellen grafischen Möglichkeiten weiterentwickelten.

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Wir können uns den Rückkopplungseffekt bei dieser Parabelgleichung auch durch "grafische Iteration" veranschaulichen. Verdeutlichen wir uns noch einmal diesen wichtigen Begriff: Rückkopplung bedeutet, daß ein Ergebnis einer Berechnung in die eigene Gleichung als neuer Ausgangswert zurückgeführt wird. Bei vielen solchen Rückkopplungen (Iterationen) stellen wir fest, daß die Ergebnisse auf bestimmte, feste Werte zulaufen. Bei der "grafischen Rückkopplung" gehen wir von der Zeichnung der Funktion in einem x-y-Koordinatensystem aus (x entspricht p, y entspricht f(x) bzw.

2-2. 5 einen Ausschnitt des sogenannten "Feigenbaum-Diagramms". 2-2 ff). " • Im Programmbaustein werden zwei neue Variablen "Unsichtbar" und "Sichtbar" verwendet, die im Programm den Wert 50 zugewiesen bekommen. 2-1 Es hat sich eine gewisse Unabhängigkeit von den Anfangswerten für p herausgestellt, wenn man nicht gerade mit p = 0 oder p = 1 anfängt. Das haben Sie sicher auch herausgefunden. Uns interessiert daher nur das Verhalten nach einer großen Zahl von Schritten ( Iterationen ). Um die Grafik nicht zu unübersichtlich werden zu lassen, laufen die ersten 50 Iterationsschritte unsichtbar "im Dunkeln" ab.

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Dynamische Systeme und Fraktale: Computergrafische by Karl-Heinz Becker, Michael Dörfler
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