By Kristina Reiss

Kenntnisse ?ber den Aufbau des Zahlensystems und ?ber elementare zahlentheoretische Prinzipien geh?ren zum unverzichtbaren Grundwissen in der Mathematik. Das vorliegende Buch spannt den Bogen vom Rechnen mit nat?rlichen Zahlen ?ber Teilbarkeitseigenschaften und Kongruenzbetrachtungen, bis hin zu zahlentheoretischen Funktionen und Anwendungen wie der Kryptographie und Zahlencodierung. Verst?ndlich und umfassend legen die Autoren den Stoff dar. Besonders hervorzuheben sind die stringent durchgef?hrten Beweisen und die Verkn?pfung von Fachwissen mit Schulbez?gen. Mit vielen ?bungsaufgaben, inkl. L?sungshinweisen und vollst?ndigen L?sungen.

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2a) Um den Schluss von n auf n+1 gem¨ aß (2) durchf¨ uhren zu k¨ onnen, wird angenommen, dass die Behauptung f¨ ur ein n richtig ist (zumindest f¨ ur n = 1 weiß man das sicher, sodass diese Vorgabe wiederum kein kompletter Unfug ist). Nun ist das Ziel, zu zeigen, dass eine (n + 1)elementige Menge genau 2n+1 Teilmengen besitzt. (2b) Dazu sei eine Menge M = {a1 , a2 , . . , an , a} mit genau n + 1 Elementen gegeben. Ein Element von M , das mit a bezeichnet sein soll, sei fest gew¨ ahlt. Mit M \{a} sei (wie bereits vereinbart) die Menge bezeichnet, die nach Herausnahme von a aus M u ¨ brig bleibt.

Das ist sicherlich ungew¨ ohnlich f¨ ur ein Mathematikbuch, gerade nach diesem eher einf¨ uhrenden Kapitel aber recht n¨ utzlich. Man sollte sich also nicht scheuen, auch elementares Schulwissen bei der L¨ osung der Aufgaben zu ber¨ ucksichtigen. 1. 2. 3. Sei A eine Menge und a ∈ A. Was ist a) A ∩ {a}, b) A ∪ {a}, c) {a} ∪ {}, d) A ∪ A, e) A ∩ A, f) A \ A, g) A \ {}, h) {} \ A? Bestimmen Sie alle Teilmengen der Menge A = {1, 2, 3, 4}. Welche Teilmengen hat die Menge B = {1, 2, 3, 4, 5}? Sei M eine Menge und P(M ) die Menge aller ihrer Teilmengen.

Viele mathematische Beweise beruhen auf dem Prinzip der Deduktion. Man geht von einer oder mehreren Voraussetzungen aus und folgert direkt daraus weitere Aussagen. Die Voraussetzungen Ludwig II. ist ein Mensch“ und alle ” ” Menschen sind sterblich“ lassen die Folgerung Ludwig II. ist sterblich“ zu. In ” gleicher Weise l¨ asst sich aus den Voraussetzungen alle geraden Zahlen sind ” durch 2 teilbar“ und 4 ist eine gerade Zahl“ folgern, dass 4 duch 2 teilbar ist. ” Man geht also von wahren Aussagen aus und schließt daraus auf eine weitere Aussage, die dann auch wahr ist.

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Basiswissen Zahlentheorie: Eine Einfuhrung in Zahlen und by Kristina Reiss
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