By Raymond Ayoub

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Wie lauten die zugehörigen Busche-Ramanujan-Identitäten? 79 Sei f eine speziell multiplikativ arithmetische Funktion, g eine beliebige arithmetische Funktion und G D g . 80 Ein Teiler d j n heißt Blockfaktor von n, wenn d I dn D 1 ist (in Kap. 4 heißt ein solcher Teiler unitärer Teiler – aber hier soll aus historischen Gründen der Ausdruck Blockfaktor verwendet werden, vgl. die Anmerkungen nach diesen Übungen). Sei k im Folgenden eine natürliche Zahl. mIn/ Dies kann auch direkt nachgewiesen werden, da die Jordan-Funktion Jk multiplikativ ist.

Jede Funktion, die diese Eigenschaft besitzt, ist ebenfalls periodisch (mod q). Wie bereits festgestellt, ist die Funktion cq eine gerade Funktion (mod q). n/ D d jq geschrieben werden. 10) gegeben. Sie werden Fourier-Koeffizienten von f genannt. q/ was al D 0 für jeden Teiler l j q zur Folge hat. Hiermit ist die Eindeutigkeit der Darstellung bewiesen. Sei ad durch die erste Gleichung gegeben. n/ q l d d jq d jq ljq ! qIn/ ist. Damit gilt ! q/ und somit kq l à  Df k0 q l à  cd k0q l à Also ist SD XX ljq  f k kq l à  cd kq l à wobei sich k über ein beliebiges primes Restklassensystem (mod l) erstreckt.

1 35 Insbesondere ist ˇk speziell multiplikativ mit B D k . ˇk /. Wie lauten die zugehörigen Busche-Ramanujan-Identitäten? 79 Sei f eine speziell multiplikativ arithmetische Funktion, g eine beliebige arithmetische Funktion und G D g . 80 Ein Teiler d j n heißt Blockfaktor von n, wenn d I dn D 1 ist (in Kap. 4 heißt ein solcher Teiler unitärer Teiler – aber hier soll aus historischen Gründen der Ausdruck Blockfaktor verwendet werden, vgl. die Anmerkungen nach diesen Übungen). Sei k im Folgenden eine natürliche Zahl.

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