By Norbert Klingen

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Example text

H. DN|k (P) := {σ ∈ G | σP = P}. 11) Korollar: Sei R ein Dedekindring mit Quotientenk¨ orper k, N |k eine endliche galoissche K¨ orpererweiterung und S der ganze Abschluss von R in N . F¨ ur p ∈ Pk sei rN|k (p) die Anzahl der Primteiler von p in N . Dann gilt: a) Die Verzweigungsexponenten eN|k (P) der verschiedenen Primteiler P von p in N stimmen u ur die Restklassengrade fN|k (P). Sie k¨ onnen deshalb auch ¨berein; dasselbe gilt f¨ als eN|k (p) bzw. fN|k (p) bezeichnet werden. b) Es gilt: rN|k (p) · eN|k (p) · fN|k (p) = (N : k) .

5): Als vollst¨ andiges Gitter auf H IRr+s−1 ist λUK freier ZZ-Modul vom Rang t := r + s − 1, also ∼ λU UK /µK = UK /Ke λ → K t ⊕ ZZ . i=1 Ist λεi mit εi ∈ UK (i = 1, . , t) eine Gitterbasis von λUK (wegen der ‘richtigen’ Anzahl t gen¨ ugt: ein ZZ-Erzeugendensystem), so erzeugen die εi ∈ UK zusammen mit der zyklischen Einheitswurzelgruppe µK ganz UK . UK ist also zun¨ achst einmal endlich erzeugt. Daher spaltet die Torsionsgruppe (hier µK ) direkt ab1) und wir erhalten UK t µK ⊕ ⊕ ZZεi i=1 1) Eine endlich erzeugte abelsche Gruppe A = a1 , .

Damit liegen die Koeffizienten in S und bleiben (wegen der Symmetrie) unter allen τj fest, d. h. sie liegen im Grundk¨ orper k (galoissche Theorie, Separabilit¨ at von K|k) und wegen der Ganzheit in R. Also 1 = F (a1 , . . , ar ) mit F ∈ R[X1 , . . , Xr ] und damit 1 ∈ a. Ist a ∈ Ik , so ist aS ∩ k ein R-Untermodul von k und wegen ra ⊂ R =⇒ r(aS ∩ k) ⊂ S ∩ k = R auch ein gebrochenes R-Ideal. Offenbar (aS ∩ k) · S ⊂ aS · S = a · S ⊂ (aS ∩ k) · S , so dass aus der bereits bewiesenen Injektivit¨ at folgt a = aS ∩ k.